Número com 17 algarismos

Escolhe-se um número de $$17$$ algarismos, e inverte-se a ordem de seus algarismos, formando um novo número. Estes dois números são somados. Mostre que a soma contém pelo menos um algarismo par.

Chamaremos esse número de $$\mathbf{N}$$. Então, escrevendo os algarismos de $$\mathbf{N}$$, temos algo assim:
\[\Large a b c d e f g h i h g f e d c b a\]
Vou utilizar uma notação como a seguir:

•  $$\stackrel{\leftarrow}{a}$$: significa que a soma que originou o algarismo a foi maior que 10. Sendo assim, existe um "vai-um" do algarismo a para o da esquerda.
•  $$\stackrel{\star}{a}$$: significa que a soma que originou o algarismo a resultou em um número par.

Farei uma afirmação de que "Nenhum algarismo de $$\mathbf{N}$$ é par", que é equivalente a dizer "Todos os algarismos de $$\mathbf{N}$$ são ímpares" . Essa será a afirmação principal.
Sendo assim, vou tentar chegar a uma contradição, provando que a afirmação acima é falsa.

Como $$i$$ é formado por duas parcelas iguais, então originalmente deve ser par. Usando a minha notação:
\[ a b c d e f g h \stackrel{\star}{i} h g f e d c b a \]
Portanto, para a afirmação inicial ser verdadeira, deve existir um "vai-um" do $$h$$. Usando a notação:
\[a b c d e f g $\stackrel{\leftarrow}{h} \stackrel{\star}{i} \stackrel{\leftarrow}{h}$ g f e d c b a \]
Por conseguinte, $$g$$ deve ser originalmente par.
\[a b c d e f $\stackrel{\star}{g} \stackrel{\leftarrow}{h} \stackrel{\star}{i} \stackrel{\leftarrow}{h} \stackrel{\star}{g}$ f e d c b a\]
Isso faz com que $$f$$ tenha que mandar um "vai-um" para que $$g$$ seja ímpar.
\[a b c d e $\stackrel{\leftarrow}{f} \stackrel{\star}{g} \stackrel{\leftarrow}{h} \stackrel{\star}{i} \stackrel{\leftarrow}{h} \stackrel{\star}{g} \stackrel{\leftarrow}{f}$ e d c b a\]

Continuando no raciocínio acima, deduzimos que e era originalmente par, fazendo com que d mande um "vai-um", o que por sua vez, faz com que c seja originalmente par, o que faz com que b mande um "vai-um". Chegamos a uma notação assim:
\[ \stackrel{\star}{a} \stackrel{\leftarrow}{b}\stackrel{\star}{c} \stackrel{\leftarrow}{d} \stackrel{\star}{e} \stackrel{\leftarrow}{f} \stackrel{\star}{g} \stackrel{\leftarrow}{h} \stackrel{\star}{i} \stackrel{\leftarrow}{h} \stackrel{\star}{g} \stackrel{\leftarrow}{f} \stackrel{\star}{e} \stackrel{\leftarrow}{d} \stackrel{\star}{c} \stackrel{\leftarrow}{b} \stackrel{\star}{a}\]

Mas isso faz com que a seja originalmente par.
\[ \stackrel{\star}{a} \stackrel{\leftarrow}{b}\stackrel{\star}{c} \stackrel{\leftarrow}{d} \stackrel{\star}{e} \stackrel{\leftarrow}{f} \stackrel{\star}{g} \stackrel{\leftarrow}{h} \stackrel{\star}{i} \stackrel{\leftarrow}{h} \stackrel{\star}{g} \stackrel{\leftarrow}{f} \stackrel{\star}{e} \stackrel{\leftarrow}{d} \stackrel{\star}{c} \stackrel{\leftarrow}{b} \stackrel{\star}{a}\]

Mas então chegamos a um absurdo, já que não há nenhum algarismo à direita do a que representa o algarismo das unidades para mandar um "vai-um". Portanto, a afirmação principal, "Nenhum algarismo de $$\mathbf{N}$$ é par" é falsa.
Então, devemos ter no pelo menos um algarismo par em $$\mathbf{N}$$ $$ \square$$