Problema modular: 9x99x999...

Esse problema tem um enunciado bem simples:

Determine o resto da divisão de $$9\times 99\times 999\times \dots \times \underbrace{99\dots9}_{999\:\:\: \text{noves}} $$ por $$ 1000 $$.

Bem, para resolver, usamos os seguintes  teoremas:

• $$ a \equiv r \pmod{b} \Rightarrow a-r = nr \: , n \in \mathbb{Z} $$;
• $$ a \equiv r \pmod{b} \Rightarrow na \equiv nb \pmod{b} $$;

O primeiro teorema diz que $$ 999 \equiv -1 \pmod{1000} $$, já que $$ 999 - (-1) = 1\cdot 1000$$.
Como observamos, depois do 2º termo, todas as parcelas deixam resto 999 quando divididas por 1000, já que podemos escrever o n-ésimo termo assim:
\[ 1000\cdot \overbrace{99\dots 99}^{n \: \text{noves}} + 999 \]
Então, transformamos a equação do enunciado em:
\[ 9\times 99\times \underbrace{999\times 999\times \cdots \times 999\times 999 }_{997 \: \: \text{parcelas}} \]
\[ 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \]
\[ -891 \]
Isso equivale a dizer que o resto daquela expressão gigante por $$1000$$ é igual a $$109$$, já que
\[109 \equiv -891 \pmod{1000} \Rightarrow 109 - (-891) = 1000\cdot 1\]