Problema com cores

O problema é o seguinte:

Qual é o número de maneiras de colorir $$n$$ objetos com três cores, se cada cor tem que ser usada pelo menos uma vez?

Bem, a solução criada por mim foi a seguinte:
Vou considerar que são objetos iguais, ou seja, não importa qual objeto foi pintado com determinada cor, mas sim quantos objetos foram pintados com aquela com. Seja $$k_i$$ o número de objetos pintados com a cor $$i$$ para $$i \in \{1,2,3\}$$.
Então, temos que saber quantas são as soluções inteiras positivas da equação:
\[ k_1 + k_2 + k_3 = n \]

Escrevemos $$n$$ como a soma de $$n$$ "uns", como a seguir:
\[\underbrace{1+1+1+1+1+1+\dots +1+1+1+1}_{n} = n\]

Se usarmos 2 barras para separar esses 1's, teremos algo como:
\[\underbrace{1+1+1+1}_{4} |\overbrace{+1+1+\dots +1}^{n-7} |\underbrace{ +1+1+1}_{3}\]

Que corresponde a solução $$(k_1, k_2, k_3) = (4,n-7,3)$$
Observamos que existem $$n-1$$ sinais de $$``+"$$, nos quais podemos colocar as barras na frente, e obtermos uma solução.
Então, basta escolhermos $$2$$ entre $$n-1$$ sinais de $$``+"$$ para colocar-mos as barras, que pode ser feito de $$\displaystyle \binom{n-1}{2}$$ maneiras , ou seja,
\[\dfrac{(n-1)!}{2!(n-3)!} = \dfrac{(n-1)(n-2)}{2}\]